страница - 0
Свойства нелинейных ленгмюровских волн
Кичигин Г.Н. (king@iszf.irk.ru)
Институт солнечно-земной физики СО РАН
1. Введение
Ленгмюровские волны бесконечно малой амплитуды - линейные волны - достаточно хорошо изучены [1,2]. В последнее время особенно интенсивно исследуются плазменные волны большой амплитуды (см., например, по этой проблеме основательный обзор [3] и цитируемую там литературу). Как правило, такие волны, возникающие в плазме за счет разделения зарядов, формируются за счет воздействия на плотную плазму либо ультрарелятивистских пучков частиц, либо мощного лазерного излучения.
Впервые основополагающие результаты при исследовании нелинейных волн были получены в работах [4-6] (см. также [2]), где рассматривались установившиеся одномерные волны в безграничной плазме, состоящей из электронов, которые считались холодными, и ионов, которые предполагались бесконечно тяжелыми и неподвижными. Позднее аналогичные результаты для ленгмюровских волн были получены независимо в работе [7]. В работах [2, 5-7] для нелинейных ленгмюровских волн получены асимптотические формулы только для амплитуды электрического поля и частоты волн и эти результаты дают весьма малую информацию о свойствах волн. В настоящей работе, используя исходные уравнения работ [2, 5-7], мы до конца решили поставленную задачу, т.е. определили параметры, при которых существуют нелинейные решения, нашли все характеристики волн.
2. Постановка задачи и основные уравнения
Так же, как и в работах [5-7], рассмотрим плазму с холодными электронами и неподвижными ионами одного сорта в отсутствие внешнего магнитного поля. Для одномерной задачи предположим, что волна распространяется в направлении оси х со скоростью и. В такой постановке все переменные зависят от координаты x и времени t. Приведем используемые в [5-7] уравнения:
дЕ
-= 4ne(no - n),(1) дх
дп д
-+ - (nv) = 0,(2)
дг дх
др дрдф
-+ V- = -eE = e -.(3) дЬ дх дх
Здесь Е, ф - электрическое поле и потенциал, n0 - плотность ионов, e, n, V, p - абсолютная величина заряда, плотность, скорость и импульс электронов, соответственно. Для
импульса используется релятивистская формула: p = mvye , где ye = (1 - Д2) ~1/2 , Д = v/c, m - масса покоя электрона (с - скорость света). К уравнениям (1)-(3) при-
2
соединим еще уравнение для полной энергии электрона mc ye :
- eEv.(4)
2
mc2
дд
- Уе + V - Уе дЬдх J
Обозначив плазменную частоту электронов через 0)p = (4ne2n0 /m)12, перейдем в уравнениях (1) - (4) к новым безразмерным переменным (х- uf)Q)p/c, ц/ = eф/(mc2). После такого перехода все переменные задачи будут функцией только переменной Е). Ис-
пользуя следующее из (2) соотношение n0u = n(u - v), из уравнений (1), (3)-(4) получим законы сохранения
E2 + 8nno mc2 (Ye-1) = Eo2,(5)
Ye - 1 = PPeYe + Ц.(6)
Здесь в = u/c, E0 - амплитуда электрического поля, которую принимает поле волны в точках, где n = n0 , v = 0, Ye = 1, Ц = 0. Закон сохранения (5) совпадает с тем, который получен в работах [5-7]. Соотношение (6), в котором фигурирует потенциал волн, по непонятным причинам не было учтено в работах [5-7], а ведь именно оно позволяет решить задачу до конца, как это показано ниже.
Подставим в соотношение (5) величину Ye , выраженную с помощью (6) через потенциал Ц, тогда закон сохранения (5) можно записать в виде
V(JY) = е - E2/2 = Y2(1+H -1 - eYVY2(1 + Ц)2 -1,(7)
где введены обозначения: E = - djz/dE, - безразмерная величина электрического поля,
2 1/22г* 2
Y = (1 - в ) - - параметр, связанный со скоростью волны, е = E0/2 = (1/2) (djdc,)0 =
E02/(влПоШС2) - параметр, связанный с амплитудой поля. Функция V(j/,y) играет роль эффективного потенциала для рассматриваемой задачи [1,8]. Обратим внимание на то, что
появление в задаче параметра Y = (1 - в 2) -1/2 свидетельствует о том, что искомые решения в виде периодических волн потенциала возможны только при условии u < с. Как мы покажем ниже, такие решения существуют и, следовательно, описываемые этими решениями волны должны иметь фазовую скорость не больше скорости света.
Рассматривая аналитическое выражение (7) для V( Ц Y) как функцию Ц/ (считая y параметром) нетрудно видеть, что эта функция определена в ограниченной области значений Ц, а именно на отрезке - (1- 1/у) °°. Обозначим отрицательное граничное значение переменной Ц/ через Ц * = - (1- 1/у). Из (7) нетрудно видеть, что при Ц/ = Ц *
величина е имеет максимальное значение: sm = Y - 1. Отсюда следует общепринятый результат [3]: при заданной фазовой скорости волны, т.е. при заданной величине параметра
Y, решение рассматриваемой задачи существует только для нелинейных волн, имеющих амплитуду электрического поля меньше или равной предельной величины, которая равна Em = \8жПоШС2(у - 1)]1/2. Для того чтобы отразить тот факт, что величина амплитуды электрического поля E0 для заданной величины u (или Y) не может быть больше Em, представим параметр е в виде е = E0 2/( 8лПоШС2)= в (Y-1), где в =е/ет = (E0 /Em)2 < 1.
3. Профиль потенциала и электрического поля волн
Из качественного рассмотрения, основанного на представлении о движении частицы в поле эффективного потенциала V(j,y) следует, что профиль потенциала волны - это периодическая структура, имеющая положительный размах потенциала ц/+ и отрицательный - Ц/ , величины которых определяются из уравнения е -V(j/,y) = 0:
ц/+ = е + ве2 + 2е, ц = е-в4е2 + 2е.(8)
Определим амплитуды ц/+ , ц/ при различных значениях параметров в и y Для нелинейных волн при в = 1, т.е. для волн, имеющих предельную величину электрического поля е = ет = Y- 1, размах колебаний потенциала определяется формулами
ц * = 1/y - 1, ц+*= 2y - 1/y - 1.(9)
Из (9) следует, что для волн с релятивистским фактором Y>>1, амплитуды Ц/ * ~ - 1,
2 у. Для волн, распространяющихся с малой скоростью, т.е. при в << 1, у ~ 1 из
(9) получим
щ+* х 3в2/2 , щ * х - в2/2.(10)
Для волн, движущихся с релятивистскими скоростями (в~ 1), но имеющих бесконечно малую амплитуду (в << 1) при s << 1, отрицательная и положительная амплитуды колебаний потенциала приблизительно равны:
¥ х - щ х 42~s.(11)
Амплитуды Щ+ , Щ равны и в случае, когда s<< 1, в << 1, в << 1:
щ х - щ х 4в в2.(12)
Теперь рассмотрим наиболее интересный для практических приложений случай, когда параметр s велик: s >> 1. Так как s = в (у - 1), а в < 1, то условие s>> 1 означает, что у>> 1, вх 1, ву>> 1, следовательно, из (8) получим
Щ+ х 2s, Щ х щ * х -1.(13)
Мы видим, что при s >> 1 отношение амплитуд Щ+ / щ х 2s, т.е. положительный размах колебаний потенциала по величине существенно больше отрицательного, который по модулю чуть меньше единицы.
Перейдем к исследованию профиля нелинейных волн. На рис. 1 для иллюстрации приведена зависимость от координаты потенциала и электрического поля нелинейной лен-гмюровской волны, полученная из численных расчетов и построенная на пространственном отрезке, равном одной длине волны. Мы обозначили пространственные размеры, на которых положительная и отрицательная части потенциала изменяются от нуля до амплитудного значения, соответственно, через £,+ = 2V2s и Ъ = 1/V2s . Из рис. 1 видно, что профиль волны имеет сугубо нелинейную форму, хотя по отдельности положительная и отрицательная части потенциала симметричны относительно максимума потенциала.
Видно также, что даже при малых значениях величины s (s = 0.25) амплитуды Щ+ и
а также пространственные масштабы £,+ , Ъ заметно различаются. Для s > 1 с увеличением s эти различия существенно возрастают.
-2
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]