Преобразование Дарбу и тахионная неустойчивость

Юров А.В., Верещагин С.Д. (sergey.ver@gmail.com) Российский государственный университет им. И. Канта

Используя преобразование Дарбу (ПД) можно построить бесконечно много потенциалов приводящих к существенно плоскому спектру флуктуаций скалярного поля, со сколь угодно высокой точностью. Описана процедура реконструкции потенциала самодействия V(ф) по заданному однопетлевому потенциалу u(t) = d2V(ф(t))/d§ (t)2. В заключении с помощью ПД одевается одно из решений Бранденберга и показывается, что все такие

В работе [1] был предложен новый механизм для генерации малых неоднородностей в космологии, получивший название тахионной неустойчивости. Если предположить, что вселенная плоская и однородная и параметр Хаббла мал в процессе генерации этих

неоднородностей, то уравнение для квантовых флуктуаций 8фк(t)exp(-ikr) скалярного поля примет вид

5ф; + (к2 + u (t ))Афк = 0(1)

где u(t) = d 2V (ф (t))/ dф (t )2 (мы будем называть u(t) однопетлевым потенциалом), V (ф ) -классический потенциал, ф (t) - однородное решение классических уравнений движения. Для вычисления плотностного спектра надо найти решение (1) с асимптотическим поведением:

5фк (t - оо) = exp(ikt) / V2k.

Тогда флуктуации плотности в момент времени 10 будут определяться выражением

где 8ф0 - решение уравнения (1) с к = 0, а показатель ns определяет цвет спектра. Несложно убедиться, что 8ф0 является одновременно решением (1) при к = 0 и производной по времени от поля ф (t) : 6ф0 (t) =ф) так что размерность этой величины в естественной системе (т.е. при c = h = 1) равна [бф0 ] = ГеВ2, тогда как для 8ф к (t) следует выбрать нормировочный множитель так, чтобы [бфк ] = ГеВ112.

Обычно изучают два потенциала: степенной V(ф) = Хфn /Mn-4 (M некоторая постоянная,

X > 0 1) и экпиротический (ekpyrotic) или циклический потенциал вида

V(ф) = V0 exp(-! /M) [2], [3]. Оба приводят к уравнению (1) с u(t) = ц2 /12. Для

степенного потенциала ц2 = ц2 (n) = 2n(n -1)2 и, как легко убедиться, любая величина

Потенциал V(ф) < 0 поэтому необходимо добавить к V(ф ) дополнительные члены для устойчивости. Однако это не играет роли в данной работе посвященной тахионной неустойчивости.

потенциалы приводят к существенно синему спектру.

Введение.

ns = 1 +

d log к

д (n) > 0 может быть получена подходящим выбором n . Например, если n > 2 то д 2(n) g (2,+оо); если n g [1,4/3] то д 2(n) g [0,2] и для n g (-оо,0) имеем д 2(n) g [0,2) . В случае же циклического потенциала д2 = 2 .

В обоих случаях, решение уравнения (1) выражается через функции Ганкеля. В следующем разделе мы применим метод преобразований Дарбу (ПД) для построения, вообще говоря, бесконечного семейства однопетлевых потенциалов со следующими двумя свойствами:

1.Все эти однопетлевые потенциалы интегрируемы. Это позволяет найти точные выражения 8фк и 8ф0 необходимые для вычисления 8 к.

2.Все эти однопетлевые потенциалы приводят к почти плоскому спектру.

Хотя ПД позволяет найти однопетлевые потенциалы u(t), мы можем восстановить и исходный классический потенциал V(ф ) используя u(t) . Мы сделаем это применительно к описываемой ситуации в третьем разделе работы. Мы также обсудим совместимость нового потенциала с инфляцией и покажем, что инфляция действительно возникает, но лишь при очень специальных начальных условиях. Это обстоятельство согласуется с результатами анализа проведенного в [1].

Во избежание недоразумений, отметим, что наши результаты о плоском спектре справедливы только для спектра скалярного поля. Спектр плотностных неоднородностей нуждается в дополнительном изучении. В четвертом разделе мы покажем, что используя ПД можно построить множество точно решаемых моделей с плоским спектром флуктуаций скалярного поля и, одновременно, с существенно неплоским синим спектром неоднородностей метрики.

Плоский спектр и ПД

Рассмотрим уравнение

8фк + (к2 + u (t ))8фк = 8фК + (-к2 + u(t ))8фк(3)

где u(t) = -2/12, к и к вещественны. Выберем решение первого уравнения в (3) в виде (t > 0):

Эти выражения представляют собой частный случай функций Ганкеля [1]. Для того, чтобы вычислить спектр необходимо выбрать нормирующий множитель N = (2к) 12. В [1] показано, что в этом случае спектр флуктуаций плотности в точности плоский, т.е. ns = 1. Очевидно, что 8ф0 имеет вид:

8ф

8ф0 = c+12 +

c

где c± - постоянные интегрирования.

Общее решение второго уравнения из (3) имеет вид

с некоторыми константами C ±. Введем ПД для (3) следующим образом

(6)

u(t) - u(1)(t,к) s uс1) = u + 2 d2logfVK

dt2

несложно убедиться, что новая функция б\/ к1"1 является решением одетого уравнения:

бфО) +(к2 + u(1) >ф f = 0(7)

если бфк и б\/к решения (3). Здесь б\/к опорная функция. В качестве опорной функции, формально можно выбрать любое решение уравнения (3), например бф~ с к к , или бф0, но полезно выбрать ее именно в виде (5). В этом случае новый (интегрируемый2) потенциал u (1) имеет вид:

uт - -2к 2 A2 exP(2Kt) + B2 exp(-2Kt) - 4AB(Kt)2 - 2AB

UK (((к - 1)exp(Kt) + B(Kt + 1)exp(-Kt ))2(8)

поэтому при t - +oo имеем

u(1) - -4" - A- - u(t)

t Kt

Это означает, что при достаточно больших значениях 10, u(1) (t0) да u(t0) и, следовательно, спектр флуктуаций в этот момент фактически одинаков у u(t0) и u (1)(t0) .

Для более точной оценки выберем нормировочный множитель у исходной величины бфк как N - 1/(/к - к )у[22к , для того чтобы получить правильное асимптотическое поведение величины бф (1) :

бфк1} - о, к ) - expOltVA

Предположим, что

0 < кгй << 1 << Kt0(9)

так что нас интересуют длинноволновые флуктуации, с длиной волны X да 1/ к >> 1/ к момент времени 1/к << t0 << 1/ к 1. Используя (6), (9) получаем

бфГЧ,к)2 да к

к чи " 2(к2 +к2)

Г 12

2 + -

(kto) (kt 0 ))j

Чтобы теперь найти бфк(1) следует подставить бфк(1) (t0, к ) и бф0(1)(, к ) в (2). Функция бфк(1) (t0,к ) может быть получена из (6) подстановкой величины бфк - бф0 из (4). Зависимость от к содержится только в бфк(1) (t0, к ), поэтому мы опускаем вычисление бф0(1) (t0, к ). Ясно, что в главном порядке (к >> к , к0 << 1) амплитуда б не зависит от к , а значит мы получаем плоский спектр.

Рассмотрим теперь малые отклонения от плоского спектра. Запишем:

1

кл/2 к3/2

б Я да,(1 + К)

в

Мы называем такие потенциалы интегрируемыми, потому что можно получить все решения (7) исходя из известных решений (3).

5Ф*§Vk -бфкк